Question

在一個三位數的百位數字與十位數字之間插入0，1，2，…，9中的一個數碼得到的四位數恰是原三位數的9倍，求這樣的三位數中最小的數與最大的數分別是多少？

Answer 1

設原來的三位數為

.

abc

，百位與十位之間插入的數字為x，插入后得到的四位數記

.

axbc

，則有

.

axbc

=9•

.

abc

且a≠0．
即1000a+100x+10b+c=9（100a+10b+c），整理得100a+100x=80b+8c．（*）
所以8c是10的倍數，即c=0或c=5．（4分）
1當c=0時，（*）變為100a+100x=80b2，即10（a+x）=8b3，
所以8b是10的倍數，解得b=0或b=5．
若b=0，則有10（a+x）=0，那么a=x=0，這與a≠0矛盾；
若b=5，則有10（a+x）=8×5，a+x=4，而a≠0，所以a=1，2，3，4，
所以當c=0時，最大的三位數為450，最小的三位數為150．（7分）
4當c=5時，（*）變為100a+100x=80b+405，即10（a+x）=8b+46，
所以8b+4是10的倍數，因此b=2或b=7．
若b=2，則有10（a+x）=8×2+4，即a+x=2，又a≠0，所以a=1，2；
若b=7，則有10（a+x）=8×7+4，即a+x=6．又a≠0，所以a=1，2，3，4，5，6．
從而當c=5時，最小的三位數是125，最大的三位數是675．（9分）
由①，②可知，滿足題意的最小三位數是125，最大三位數是675．（10分）