Question

【題目】如圖，為線段上一動點（不與點、重合），在同側分別作等邊和等邊，與交于點，與交于點，與交于點，連接、，以下五個結論：①；②；③；④；⑤平分.一定成立的結論有______________；

Answer 1

【答案】①②③⑤．

【解析】

①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；
③根據②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正確；
④根據∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；
⑤由BC∥DE，得到∠CBE=∠BED，由∠CBE=∠DAE，得到∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°可得出∠AOE=120°，再利用三角形相似以及等邊三角形的知識可知⑤正確；

解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴①正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE

∴②正確；
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ

∴③正確；
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④錯誤；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，
∴∠AOE=120°，
∵∠PBO=∠PAC，∠BOP=∠PCA，
∴△BPO∽△APC，
∴ ，
∴，

∵∠APB=∠CPO，
∴△APB∽△CPO，
∴∠COP=∠ABP=60°，
∴∠COA=∠COE=60°，
∴OC平分∠AOE，故⑤正確；

故答案為：①②③⑤．