Question

【題目】定義：有三個角相等的四邊形叫做三等角四邊形．

（1）在三等角四邊形中，，則的取值范圍為________．

（2）如圖①，折疊平行四邊形，使得頂點、分別落在邊、上的點、處，折痕為、．求證：四邊形為三等角四邊形；

（3）如圖②，三等角四邊形中，，若，，，則 的長度為多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）的長度為.

【解析】

（1）根據四邊形的內角和是360°，確定出∠BAD的范圍；

（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據等角的補角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可；

（3）延長BA，過D點作DG⊥BA，繼續延長BA，使得AG=EG，連接DE；延長BC，過D點作DH⊥BC，繼續延長BC，使得CH=HF，連接DF，由SAS證明△DEG≌△DAG，得出AD=DE=，∠DAG=∠DEA，由SAS證明△DFH≌△DCH，得出CD=DF=6，∠DCH=∠DFH，證出DE∥BF，BE∥DF，得出四邊形DEBF是平行四邊形，得出DF=BE=6，DE=BF=，由等腰三角形的性質得出EG=AG=（BE-AB）=1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG==4，由平行四邊形DEBF的面積求出，在Rt△DCH中，由勾股定理求出，即可得出BC的長度．

（1）∵

∴

∴

∵

∴

∴

故答案為：

（2）證明：∵四邊形為平行四邊形，

∴，

∴

∵，

∴

∵，，

∴

∴四邊形是三等角四邊形；

（3）延長，過點作，繼續延長，使得，連接；延長，過點作，繼續延長，使得，連接，如圖所示：

在和中，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∵

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，，

∴

在中,

∵平行四邊形的面積，

即：

∴

在中，

∴

故答案為：的長度為.