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已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A重合,將此三角板繞A點旋轉時,兩邊分別交直線BC、CD于M、N.
(1)當M、N分別在邊BC、CD上時(如圖1),求證:BM+DN=MN;
(2)當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時(如圖2),線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系,請直接寫出結論______;(不用證明)
(3)當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時(如圖3),線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系,請寫出結論并寫出證明過程.

【答案】分析:(1)延長CB到G使BG=DN,容易證明△AGB≌△AND,由此得到AG=AN而根據∠MAN=45°,∠BAD=90°,可以得到∠GAM=∠NAM=45°,從而證明△AMN≌△AMG,然后根據全等三角形的性質可以證明BM+DN=MN;
(2)BM-DN=MN.在BC上截取BG=DN,連接AG,然后也可以證明△AMN≌△AMG,也根據全等三角形的性質就可以得到結論;
(3)DN-BM=MN.在ND上截取DG=BM,連接AG,首先證明△AMB≌△AGD,再證△AMG為等腰直角三角形,即可.
解答:解:(1)延長CB到G使BG=DN,
∵AB=AD,GB=DN,∠AGB=∠ADN=90°,
∴△AGB≌△AND,
∴AG=AN,∠GAB=∠DAN,
∵∠MAN=45°,∠BAD=90°,
∴∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠GAM=∠NAM,而AM是公共邊,
∴△AMN≌△AMG,
∴MN=GM=BM+GB=MB+DN;

(2)BM-DN=MN;

(3)DN-BM=MN.

證明:如圖3,在ND上截取DG=BM,
∵AD=AB,∠ABM=∠ADN=90°,
∴△ADG≌△ABM,
∴AG=AM,∠MAB=∠DAG,
∵∠MAN=45°,∠BAD=90°,
∴∠MAG=90°,△AMG為等腰直角三角形,
∴AN垂直MG,
∴AN為MG垂直平分線,
所以NM=NG.
∴DN-BM=MN.
點評:此題是一道把圖形的旋轉變換,全等三角形的判定和正方形的性質結合求解的綜合題.難度大,解題的關鍵是把圖形的變換放在正方形中,利用正方形的性質去探究圖形變換的規律.考查了學生綜合運用數學知識的能力.
練習冊系列答案
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如圖1,已知正方形ABCD中,對角線AC、BD交于O點,過O點作OE⊥OF分別交DC于E,交BC于F,∠FEC的角平分線EP交直線AC于P.
(1)①求證:OE=OF;
②寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式,并證明你的結論;
(2)如圖2,當∠EOF繞O點逆時針旋轉一個角度,使E、F分別在CD、BC的延長線上,請完成圖形并判斷(1)中的結論①、②是否分別成立?若不成立,寫出相應的結論(所寫結論均不必證明).
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如圖,已知正方形ABCD的邊長與Rt△EFG的直角邊EF的長均為4cm,FG=8cm,AB與FG在同一條直線l上、開始時點F與點B重合,讓Rt△EFG以每秒1cm速度在直線l上從右往左移動,精英家教網直至點G與點B重合為止.設x秒時Rt△EFG與正方形ABCD重疊部分的面積記為ycm2
(1)當x=2秒時,求y的值;
(2)求y與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.

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精英家教網已知正方形ABCD的邊長為4厘米,E,F分別為邊DC,BC上的點,BF=1厘米,CE=2厘米,BE,DF相交于點G,求四邊形CEGF的面積.

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(2012•惠山區一模)閱讀與證明:
如圖,已知正方形ABCD中,E、F分別是CD、BC上的點,且∠EAF=45°,

求證:BF+DE=EF.
分析:證明一條線段等于另兩條線段的和,常用“截長法”或“補短法”,將線段BF、DE放在同一直線上,構造出一條與BF+DE相等的線段.如圖1延長ED至點F′,使DF′=BF,連接A F′,易證△ABF≌△ADF′,進一步證明△AEF≌△AEF′,即可得結論.
(1)請你將下面的證明過程補充完整.
證明:延長ED至F′,使DF′=BF,
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD,∠ABF=∠ADF′=90°,
∴△ABF≌△ADF’(SAS)
應用與拓展:如圖建立平面直角坐標系,使頂點A與坐標原點O重合,邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上.
(2)設正方形邊長OB為30,當E為CD中點時,試問F為BC的幾等分點?并求此時F點的坐標;
(3)設正方形邊長OB為30,當EF最短時,直接寫出直線EF的解析式:
y=-x+30
2
y=-x+30
2

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知正方形ABCD邊長為2,E、F、G、H分別為各邊上的點,且AE=BF=CG=DH.
(1)求證:△EBF≌△FCG;
(2)設四邊形EFGH的面積為s,AE為x,求s與x的函數解析式,并寫出x的取值范圍;
(3)當x為何值時,正方形EFGH的面積最小?最小值是多少?

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