Question

【題目】在正方形ABCD外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．

（1）依題意補全圖1；

（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數；

（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，FE，FD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）25°；（3）EF2+FD2＝2AB2，見解析

【解析】

（1）根據題意直接畫出圖形得出即可；

（2）利用對稱的性質以及等角對等邊進而得出答案；

（3）由軸對稱的性質可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，進而利用勾股定理得出答案．

解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2，連接AE，

則∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

又∵∠EAP＝∠BAP＝20°，

∴∠EAD＝130°，

∴；

（3）數量關系是; EF2+FD2＝2AB2

如圖3，連接AE、BF、BD，

由軸對稱的性質和正方形的性質可得：

EF＝BF，AE＝AB＝AD，

∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，

∴BF2+FD2＝BD2，

∵在Rt△ABD中AD2+AB2=BD2

∴EF2+FD2＝2AB2．