Question

7．命題“兩直線平行，內錯角的平分線互相平行”是真命題嗎？如果是，請給出證明；如果不是，請舉出反例．

Answer 1

分析 如圖，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，先根據平行線的性質得∠AEF=∠DFE，則根據角平分線定義得到∠1=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠2=$\frac{1}{2}∠$DFE，則∠1=∠2，然后根據平行線的判定可判斷EM∥FN，于是可判斷“兩直線平行，內錯角的平分線互相平行”是真命題．

解答 解：命題“兩直線平行，內錯角的平分線互相平行”是真命題．
證明如下：如圖，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠DFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠2=$\frac{1}{2}∠$DFE，
∴∠1=∠2，
∴EM∥FN，
即兩直線平行，內錯角的平分線互相平行．

點評 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．