Question

（2007•常州）已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）當DG=2時，求△FCG的面積；
（2）設DG=x，用含x的代數式表示△FCG的面積；
（3）判斷△FCG的面積能否等于1，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求△FCG的面積，可以轉化到面積易求的三角形中，通過證明△DGH≌△CFG得出．
（2）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得；
（3）若S_△FCG=1，由S_△FCG=6-x，得x=5，此時，在△DGH中，HG=．相應地，在△AHE中，AE=，即點E已經不在邊AB上．故不可能有S_△FCG=1．
解答：解：（1）∵正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
∵DG=2，
∴HG=2，即菱形EFGH的邊長為2．
在△AHE和△DGH中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，
∴△AHE≌△DGH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，
同理可以證明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即點F在BC邊上，同時可得CF=2，
從而S_△FCG=×4×2=4．（2分）

（2）作FM⊥DC，M為垂足，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，
即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2．
因此S_△FCG=×2×（6-x）=6-x．（6分）

（3）若S_△FCG=1，由S_△FCG=6-x，得x=5，
此時，在△DGH中，HG=，
相應地，在△AHE中，AE=，即點E已經不在邊AB上．
故不可能有S_△FCG=1．（9分）
另法：由于點G在邊DC上，因此菱形的邊長至少為DH=4，
當菱形的邊長為4時，點E在AB邊上且滿足AE=2，此時，當點E逐漸向右運動至點B時，HE的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為HE=2．
此時，DG=2，故0≤x≤2．
而函數S_△FCG=6-x的值隨著x的增大而減小，
因此，當x=2時，S_△FCG取得最小值為6-2．
又因為6-2=1，所以，△FCG的面積不可能等于1．（9分）
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．搞清楚菱形、正方形中的三角形的三邊關系，同時考查了全等三角形的判定和性質．