Question

如圖，已知P是正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心，將△ABP沿順時針方向旋轉，使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點．
（1）請畫出旋轉后的圖形，并說明此時△ABP以點B為旋轉中心旋轉了多少度？
（2）求出PG的長度；
（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為∠ABC=90°，將△ABP沿順時針方向旋轉，使點A與點C重合時，旋轉角為∠ABC=90°；
（2）連接PG，證明△BPG為等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判斷△PGC為直角三角形．
解答：解：（1）旋轉后的△BCG如圖所示，旋轉角為∠ABC=90°；

（2）連接PG，由旋轉的性質可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG為等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG==2；

（3）由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=2，
∵PG²+CG²=（2）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC為直角三角形．
點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理及其逆定理的運用．關鍵是由旋轉角為90°，對應邊相等，得出等腰直角三角形．