Question

如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，△ACP∽△PDB，
（1）請你說明CD²=AC•BD；
（2）求∠APB的度數．

Answer 1

分析：（1）由△ACP∽△PDB，根據相似三角形的對應邊成比例，可得AC：PD=PC：BD，又由△PCD是等邊三角形，即可證得CD²=AC•BD；
（2）由△ACP∽△PDB，根據相似三角形對應角相等，可得∠A=∠BPD，又由△PCD是等邊三角形，即可求得∠APB的度數．

解答：（1）證明：∵△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴PD•PC=AC•BD，
∵△PCD是等邊三角形，
∴PC=CD=PD，
∴CD²=AC•BD；

（2）解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．

點評：此題考查了相似三角形的性質與等邊三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．