Question

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC邊于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）連結OC交DE于點F，若sin∠ABC=，求的值．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴O是AB的中點．
又∵D是BC的中點，．
∴OD∥AC．
∴∠DEC=∠ODE=90°．
∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD．
∵OD∥AC，
∴．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵D為BC的中點，
∴AB=AC．
∵sin∠ABC==，
故設AD=3x，則AB=AC=4x，OD=2x．
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED．
∴．
∴AD²=AE•AC．
∴．
∴．
∴．
分析：（1）連接OD．根據三角形中位線定理判定OD是△ABC的中位線，則OD∥AC，所以∠DEC=∠ODE=90°，即DE⊥AC；
（2）連接AD．通過解直角三角形得到sin∠ABC==，故設AD=3x，則AB=AC=4x，OD=2x；由相似三角形△ADC∽△AED的對應邊成比例得到AD²=AE•AC．則，，所以．
點評：本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．