Question

【題目】（10分）如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接ED．

（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若FC=6，DE=3，F(xiàn)D=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）⊙O的直徑為9．

【解析】

試題分析： （1）由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得∠A+∠DEC=180°，由鄰補(bǔ)角的定義可得∠FED+∠DEC=180°，所以∠FED=∠A，又因∠B+∠FED=90°，即可得∠B+∠A=90°，所以∠BCA=90°，即BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）由∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，即可得△FED∽△FAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，帶入數(shù)值即可求出AC的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，

∴∠FED=∠A，

∵∠B+∠FED=90°，

∴∠B+∠A=90°，

∴∠BCA=90°，

∴BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，

∴△FED∽△FAC，

∴，

∴，

解得：AC=9，即⊙O的直徑為9．