Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E．
（1）求證：AM=2CM；
（2）若∠1=∠2，，求ME的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據四邊形ABCD是菱形得出BC∥AD，故△CFM∽△ADM，由相似三角形的性質可知=，再根據CF=BC=AD即可得出結論；
（2））先根據AB∥DC得出∠1=∠4，再由∠1=∠2可知∠2=∠4．由等腰三角形的性質得出CE=CD．再根據四邊形ABCD是菱形得出∠3=∠4．根據F為邊BC的中點可知CF=CE，根據SAS定理得出△CMF≌△CME，故可得出∠CFM=∠CEM=90°．再由∠2=∠3=∠4=30°得出=的值，根據CD=2CE即可得出結論．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形．
∴BC∥AD．
∴△CFM∽△ADM．
∴=，
∵F為邊BC的中點，
∴CF=BC=AD，
∴==．
∴AM=2MC；

（2）∵AB∥DC，
∴∠1=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠4．
∵ME⊥CD，
∴CE=CD．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠3=∠4．
∵F為邊BC的中點，
∴CF=BC．
∴CF=CE，
∵在△CMF和△CME中，
，
∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴∠CFM=∠CEM=90°．
∵∠2=∠3=∠4，
∴∠2=∠3=∠4=30°．
∴=．
∵CD=2CE=2，
∴CE=，
∴ME=1．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、菱形的性質及特殊角的三角函數值，熟知以上知識是解答此題的關鍵．