Question

某縣社會主義新農村建設辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設管道到另外兩處。

如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計），點M表示這所中學。點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的km處。

為使供水站鋪設到另兩處的管道長度之和最短，現有如下三種方案：

方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設到A處，請你在圖①中，畫出鋪設到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖②中，畫出鋪設到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值。

綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設的管道最短？

 

Answer 1

解：方案一：由題意可得：MB⊥OB

∴點M到甲村的最短距離為MB。

∵點M到乙村的最短距離為MD，

∴將供水站建在點M處時，管道沿MD、MB線路鋪設的長度之和最小，

即最小值為MB+MD=3+ （km）

方案二：如圖①，作點M關于射線OE的對稱點M′，則MM′＝2ME，

連接AM′交OE于點P，PE∥AM，PE＝。

∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3

在Rt△DME中，

∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×，

∴PE＝DE，∴ P點與E點重合，即AM′過D點。）

在線段CD上任取一點P′，連接P′A，P′M，P′M′，

則P′M＝P′M′。

∵A P′＋P′M′＞AM′，

∴把供水站建在乙村的D點處，管道沿DA、DM線路鋪設的長度之和最小，

即最小值為AD＋DM＝AM′＝

方案三：作點M關于射線OF的對稱點M′，作M′N⊥OE于N點，交OF于點G，

交AM于點H，連接GM，則GM＝GM′

∴M′N為點M′到OE的最短距離，即M′N＝GM＋GN

在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，

∴MH＝3，∴NE＝MH＝3

∵DE＝3，∴N、D兩點重合，即M′N過D點。

在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝

在線段AB上任取一點G′，過G′作G′N′⊥OE于N′點，

連接G′M′，G′M，

顯然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D

∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM、GD

線路鋪設的長度之和最小，即最小值為

GM＋GD＝M′D＝。

綜上，∵3＋＜，

∴供水站建在M處，所需鋪設的管道長度最短。