Question

6．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}x+3$與y軸、x軸分別交于點A、B，x軸上有點P，使得△ABP為等腰三角形，則P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{8}$，0）或（-1，0）或（9，0）或（-4，0）．

Answer 1

分析 求出A、B的坐標(biāo)，求出OA、OB、AB，分為三種情況：畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的判定求出即可．

解答 解：直線y=-$\frac{3}{4}x+3$，
當(dāng)x=0時，y=3，
當(dāng)y=0時，x=4，
即A（0，3），B（4，0），
OA=3，OB=4，
由勾股定理得：AB=5，
分為三種情況：①如圖1，作AB的垂直平分線EP，垂足為E，交x軸于P，此時AP=BP，

則BE=AE=$\frac{5}{2}$，
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠EBP，
∴△PEB∽△AOB，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BE}{OB}$，
∴$\frac{BP}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴BP=$\frac{25}{8}$，
∴OP=4-BP=$\frac{7}{8}$，
此時P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{8}$，0）；
②如圖2，以B為圓心以AB為半徑畫弧，交x軸交于兩點P₂，P₃，

此時AB=BP，
點P的坐標(biāo)為（-1，0）和（9，0）；
③如圖3，以A為圓心以AB為半徑畫弧，交x軸交于點P₄，

此時AB=AP=5，
點P的坐標(biāo)為（-4，0）．
故答案為：（$\frac{7}{8}$，0）或（-1，0）或（9，0）或（-4，0）．

點評 本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．