Question

已知開口向下的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于M，N兩點（點N在點M的右側），并且M和N兩點的橫坐標分別是方程x²-2x-3=0的兩根，點K是拋物線與y軸的交點，∠MKN不小于90度．
（1）求點M和N的坐標；
（2）求系數a的取值范圍；
（3）當y取得最大值時，拋物線上是否存在點P，使得S△MPN=2

3

？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據先求出方程x²-2x-3=0的兩根，然后根據M，N的左右位置來確定它們的坐標．
（2）可先用交點式設出拋物線的解析式，由于拋物線過M，N，因此可將拋物線設為y=a（x²-2x-3），求∠MKN不小于90°時a的取值范圍，那么可先求出∠MKN=90°時，a的值．當∠MKN=90°時，可根據射影定理求出OK的長，也就求出了a的值，進而可得出a的取值范圍．（要注意的是拋物線開口向下的條件，即a＜0）．
（3）當y取最大值時，那么∠NKN必為90°，可根據（2）得出的∠MKN=90°時a的值，進而可求出拋物線的解析式，然后根據三角形MKN的面積求出P點縱坐標的絕對值，再將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標．

解答：解：（1）由題意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在點M的左側，因此M，N的坐標分別是M（-1，0），N（3，0）

（2）拋物線與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點，則y=a（x²-2x-3）
拋物線開口向下，則a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
當∠MKN=90°時，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，

1

-3a

=

-3a

3

∴a²=

1

3

，a=-

3

3

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范圍是-

3

3

≤a＜0；

（3）當y取最大值時，a=-

3

3

，因此拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；
設P點的坐標為（0，h），則有：
S_△MPN=

1

2

•MN•|h|=2

3

，MN=4，因此|h|=

3

，h=±

3

．
當h=

3

時，

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=0或x=2．
當h=-

3

時，-

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=1+

7

或1-

7

．
因此P點的坐標為（0，

3

）、（2，

3

）、（1+

7

，-

3

）、（1-

7

，-

3

）．

點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及二次函數的綜合應用，（2）中求出∠MKN=90°時a的取值是解題的關鍵．