
解:(1)由題意:x
2-2x-3=0,x=3,x=-1
由于N在點M的左側(cè),因此M,N的坐標分別是M(-1,0),N(3,0)
(2)拋物線與x軸交于M(-1,0),N(1,0)兩點,則y=a(x
2-2x-3)
拋物線開口向下,則a<0,令x=0,y=-3a>0,K(0,-3a).
當∠MKN=90°時,
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°,∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO:KO=KO:ON,

=

∴a
2=

,a=-

由于∠MKN不小于90°,因此a的取值范圍是-

≤a<0;
(3)當y取最大值時,a=-

,因此拋物線的解析式為y=-

x
2+

x+

;
設(shè)P點的坐標為(0,h),則有:
S
△MPN=

•MN•|h|=2

,MN=4,因此|h|=

,h=±

.
當h=

時,

=-

x
2+

x+

:解得x=0或x=2.
當h=-

時,-

=-

x
2+

x+

:解得x=1+

或1-

.
因此P點的坐標為(0,

)、(2,

)、(1+

,-

)、(1-

,-

).
分析:(1)可根據(jù)先求出方程x
2-2x-3=0的兩根,然后根據(jù)M,N的左右位置來確定它們的坐標.
(2)可先用交點式設(shè)出拋物線的解析式,由于拋物線過M,N,因此可將拋物線設(shè)為y=a(x
2-2x-3),求∠MKN不小于90°時a的取值范圍,那么可先求出∠MKN=90°時,a的值.當∠MKN=90°時,可根據(jù)射影定理求出OK的長,也就求出了a的值,進而可得出a的取值范圍.(要注意的是拋物線開口向下的條件,即a<0).
(3)當y取最大值時,那么∠NKN必為90°,可根據(jù)(2)得出的∠MKN=90°時a的值,進而可求出拋物線的解析式,然后根據(jù)三角形MKN的面積求出P點縱坐標的絕對值,再將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,(2)中求出∠MKN=90°時a的取值是解題的關(guān)鍵.