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已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于M,N兩點(點N在點M的右側(cè)),并且M和N兩點的橫坐標分別是方程x2-2x-3=0的兩根,點K是拋物線與y軸的交點,∠MKN不小于90度.
(1)求點M和N的坐標;
(2)求系數(shù)a的取值范圍;
(3)當y取得最大值時,拋物線上是否存在點P,使得數(shù)學(xué)公式?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

解:(1)由題意:x2-2x-3=0,x=3,x=-1
由于N在點M的左側(cè),因此M,N的坐標分別是M(-1,0),N(3,0)

(2)拋物線與x軸交于M(-1,0),N(1,0)兩點,則y=a(x2-2x-3)
拋物線開口向下,則a<0,令x=0,y=-3a>0,K(0,-3a).
當∠MKN=90°時,
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°,∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO:KO=KO:ON,=
∴a2=,a=-
由于∠MKN不小于90°,因此a的取值范圍是-≤a<0;

(3)當y取最大值時,a=-,因此拋物線的解析式為y=-x2+x+
設(shè)P點的坐標為(0,h),則有:
S△MPN=•MN•|h|=2,MN=4,因此|h|=,h=±
當h=時,=-x2+x+:解得x=0或x=2.
當h=-時,-=-x2+x+:解得x=1+或1-
因此P點的坐標為(0,)、(2,)、(1+,-)、(1-,-).
分析:(1)可根據(jù)先求出方程x2-2x-3=0的兩根,然后根據(jù)M,N的左右位置來確定它們的坐標.
(2)可先用交點式設(shè)出拋物線的解析式,由于拋物線過M,N,因此可將拋物線設(shè)為y=a(x2-2x-3),求∠MKN不小于90°時a的取值范圍,那么可先求出∠MKN=90°時,a的值.當∠MKN=90°時,可根據(jù)射影定理求出OK的長,也就求出了a的值,進而可得出a的取值范圍.(要注意的是拋物線開口向下的條件,即a<0).
(3)當y取最大值時,那么∠NKN必為90°,可根據(jù)(2)得出的∠MKN=90°時a的值,進而可求出拋物線的解析式,然后根據(jù)三角形MKN的面積求出P點縱坐標的絕對值,再將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,(2)中求出∠MKN=90°時a的取值是解題的關(guān)鍵.
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已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于M,N兩點(點N在點M的右側(cè)),并且M和N兩點的橫坐標分別是方程x2-2x-3=0的兩根,點K是拋物線與y軸的交點,∠MKN不小于90度.
(1)求點M和N的坐標;
(2)求系數(shù)a的取值范圍;
(3)當y取得最大值時,拋物線上是否存在點P,使得S△MPN=2
3
?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2)求系數(shù)a的取值范圍;
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