Question

如圖，已知點A（2，4）在反比例函數y=

k

x

(x＞0)的圖象S₁上，將雙曲線S₁沿y軸翻折后得到的是反比例函數y=-

k

x

的圖象S₂，直線AB交y軸于點B（0，3），交x軸于點C，P為線段BC上的一個動點（點P與B、C不重合），過P作x軸的垂線與雙曲線S₂在第二象限相交于點E．
（1）求雙曲線S₂和直線AB的解析式；
（2）設點P的橫坐標為m，線段PE的長為h，求h與m之間的函數關系，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點P，使得P、E、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A點坐標易求k值，再根據翻折的特點求出雙曲線S₂的解析式；根據A、B兩點坐標求直線解析式；
（2）根據PE=E點縱坐標-P點縱坐標，求h與m之間的函數關系式；
（3）△BOC為直角三角形，而∠EPA不是直角，所以另外兩個角可能是直角，分兩種情形討論．

解答：解：（1）∵點A（2，4）在y=

k

x

的圖象上，則k=8，
∴雙曲線S₂的解析式為y=-

8

x

，
設直線AB的解析式為y=ax+b，
則

2a+b=4 b=3

，
∴y=

1

2

x+3；
∴y=

1

2

x+3；

（2）由（1）可設P（m，

1

2

m+3），
又PE⊥x軸，則E點的橫坐標與P點相同為m，
點E在雙曲線S₂上，
∴y_E=-

8

m

，即E（m，-

8

m

），
∴h=y_E-y_P=-

8

m

-

1

2

m-3（-6＜m＜0）；

（3）分兩種情況：
①若△AEP∽△COB，如圖1，
此時，∠AEP=∠COB=90°，即AE⊥EP，
則y_E=y_A=4，x_E=-2；
∴E（-2，4）；
又EP⊥x軸，則x_P=x_E=-2，
y_P=

1

2

x_P+3=

1

2

×（-2）+3=2；
∴P（-2，2）；
②若△EAP∽△COB，如圖2，
此時∠EAP=∠COB=90°，過點A作AF⊥EP于F，
則有△EFA∽△COB，
∴

EF

CO

=

AF

BO

；
對于直線y=

1

2

x+3；
當y=0時，x=-6，
則C（-6，0）；
∴OC=6；
又P點的坐標為（m，

1

2

m+3），則E（m，-

8

m

），F（m，4），
∴EF=-

8

m

-4，AF=2-m；
可得：

- 8 m -4

6

=

2-m

3

，解得：m²-4m-4=0；
∴m₁=2-2

2

，m₂=2+2

2

；
∴m=2-2

2

；
∴

1

2

m+3=4-

2

∴P(2-2

2

，4-

2

)．
綜上所述，存在點P（-2，2）或（2-2

2

，4-

2

），使得以P、E、A為頂點的三角形與△BOC相似．

點評：本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定，要注意（3）在相似形中需根據對應關系分情形討論．