Question

24、（1）設(shè)1，2，3，…，9的任一排列為a_l，a₂，a₃…，a₉．求證：（a_ll一1）（ a₂-2）…（a₉-9）是一個(gè)偶數(shù)．
（2）在數(shù)1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³，這些數(shù)的前面任意放置“+”或“一”號，并順次完成所指出的運(yùn)算，求出代數(shù)和，證明：這個(gè)代數(shù)和必定不等于2003．

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)換角度考查問題，用反證法求證；
（2）由于任意添“十”號或“一”號，形式多樣，因此不可能一一嘗試再作解答，從奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)人手．

解答：解：（1）用反證法．
假設(shè)（a1-1）（a2-2）…（a9-9）為奇數(shù)，則a1-1，a2-2，…，a9-9都為奇數(shù)，
則a₁，a₃，a₅，a₇，a₉為偶數(shù)，a₂，a₄，a₆，a₈為奇數(shù)，
而1-9是5個(gè)奇數(shù)、4個(gè)偶數(shù)，
奇偶數(shù)矛盾，因此假設(shè)不成立．
（2）∵1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³，與1，2，3，4，5，…2002，2003的奇偶性相同，
∴在1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³的任意數(shù)前加“+”或“-”的奇偶性 與在1，2，3，4，5，…2002，2003的任意數(shù)前加“+”或“-”的的奇偶性相同，
∵兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同，且1+2+3+4+5+…+2003=2003×（2003+1）÷2=2003×1002是偶數(shù)，
∴這個(gè)代數(shù)式的和應(yīng)為偶數(shù)，
即這個(gè)代數(shù)式的和必定不等于2003．

點(diǎn)評：此題考查整數(shù)的奇偶性，注意“兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同”的應(yīng)用．