Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD邊長為2，折疊∠B和∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上的一點P，EF、GH分別是折痕（圖2），設AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：①x=時，EF+AB＞AC；②六邊形AEFCHG周長的值為定值；③六邊形AEFCHG面積為定值，其中正確的是（　　）

A.①②B.①③C.②D.②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

由折疊的性質和正方形的性質可得四邊形BEPF，四邊形PGDH是正方形，四邊形AEPG，四邊形PFCH是矩形，可得AE=PG=GD=DH=PH=FC，BE=BF=EP=PF=AG=CH，即可判斷①②③．

∵折疊，

∴BE=EP，BF=PF，∠ABC=∠EPF=90°，

∵BD平分∠ABC，EF垂直平分BP，

∴BE=BF，

∴四邊形BEPF是菱形，且∠EBF=90°，

∴四邊形BEPF是正方形，

同理四邊形PGDH是正方形，

∴∠AGP=90°，∠AEP=90°，

∴四邊形AEPG是矩形，

同理四邊形CFPH是矩形，

∴AE=PG=GD=DH=PH=FC，BE=BF=EP=PF=AG=CH，

當x=，則BE=，

∴EF=，

∴AB+EF=2+，

∵AB=BC=2，

∴AC=2

∴AB+EF＜AC，

故①錯誤；

∵六邊形AEFCHG周長=AE+AG+CH+CF+EF+GH=AE+BE+CF+BF+BE+AE，

∴六邊形AEFCHG周長=AB+BC+（AE+BE）=4+2是定值，

故②正確；

∵六邊形AEFCHG面積=2×2﹣BE2﹣GD2=4﹣（EP2+AE2）=4﹣EG2

∴六邊形AEFCHG面積不是定值，

故③錯誤.

故選：C．