Question

（2012•遂寧）已知：如圖，直線y=mx+n與拋物線y=

1

3

x2+bx+c交于點A（1，0）和點B，與拋物線的對稱軸x=-2交于點C（-2，4），直線f過拋物線與x軸的另一個交點D且與x軸垂直．
（1）求直線y=mx+n和拋物線y=

1

3

x2+bx+c的解析式；
（2）在直線f上是否存在點P，使⊙P與直線y=mx+n和直線x=-2都相切．若存在，求出圓心P的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）在線段AB上有一個動點M（不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，當MN的長為多少時，△ABN的面積最大，請求出這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法可以求出直線y=mx+n的解析式；在解二次函數的解析式時，可由其對稱軸方程求出b的值，再代入A點的坐標可以求出c的值．
（2）此題需要從圖形入手，顯然在直線AB的上下方各有一個符合條件的P點，那么可以將圖形進行簡化（如解答部分的圖示），在簡化的圖形中，△P₁E₁F≌△PEF且△PEF∽△ADF；圓的半徑可由直線f和直線x=-2的距離得出（即PE、P₁E₁的長），AD、FD的長不難得到，那么由相似三角形即可求出PF的長，進而能求出PD、P₁D的長，由此求出圓心的坐標．
（3）點B的坐標不難求出，根據直線AB和拋物線的解析式，可以先用一個未知數表達出點M、N的坐標，以MN為底，A、B點的橫坐標差的絕對值為高（也可將△ABN分成兩個三角形來分析），即可得到關于△ABN的面積和未知數的函數解析式，根據函數的性質求解即可．

解答：解：（1）將A（1，0）、C（-2，4）代入直線y=mx+n得：

m+n=0 -2m+n=4

，
解得：

m=- 4 3 n= 4 3

，
故直線解析式為：y=-

4

3

x+

4

3

．
將A（1，0）代入拋物線y=

1

3

x2+bx+c及對稱軸為直線x=-2得：

- b 2× 1 3 =-2 1 3 +b+c=0

，
解得：

b= 4 3 c=- 5 3

，
故拋物線解析式為：y=

1

3

x2+

4

3

x-

5

3

．

（2）存在．
如圖1，圖形簡化為圖2

直線f解析式：x=-5，故圓半徑R=3，且F（-5，8）．
易得△PEF∽△ADF，△P₁E₁F≌△PEF，其中PE=P₁E₁=R=3，AD=6，FD=8，P₁F=PF．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由

AD

PE

=

AF

PF

得：PF=5．
∴PD=13，P₁D=3．
∴P（-5，13）、P₁（-5，3）．
綜上可得存在點P的坐標為（-5，13）或（-5，3）．

（3）如圖3：
聯立直線與拋物線解析式得：

y= 1 3 x2+ 4 3 x- 5 3 y=- 4 3 x+ 4 3

，
解得交點B的坐標：（-9，

40

3

）．
設點M（q，-

4

3

q+

4

3

），N（q，

1

3

q²+

4

3

q-

5

3

），
所以：MN=（-

4

3

q+

4

3

）-（

1

3

q²+

4

3

q-

5

3

）=-

1

3

q²-

8

3

q+3=-

1

3

（q+4）²+

25

3

．
S_△ABN=S_△AMN+S_△BMN=

1

2

MN•AF+

1

2

MN•BE=

1

2

MN（AF+BE）=5MN=-

5

3

（q+4）²+

125

3

．
當q=-4時，S_△ABN有最大值

125

3

；此時：MN=

25

3

．

點評：此題考查了函數解析式的確定、直線和圓的位置關系、相似三角形以及全等三角形的應用、三角形面積的求法等重要知識點；（2）題中，對圖形進行簡化能使得繁雜的題目更加直觀；最后一題是二次函數綜合題中考查頻率比較大的一種類型題，需要牢固掌握．