Question

已知，如圖在正方形OADC中，點C的坐標為（0，4），點A的坐標為（4，0），CD的延長線交雙曲線y=于點B．
（1）求直線AB的解析式；

（2）G為x軸的負半軸上一點連接CG，過G作GE⊥CG交直線AB于E．求證CG=GE；
（3）在（2）的條件下，延長DA交CE的延長線于F，當G在x的負半軸上運動的過程中，請問的值是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請說明你的理由．

Answer 1

解：（1）設y=kx+b，
∵點C的坐標為（0，4），BC∥X軸，
∴點B縱坐標為4，
當y=4時，x==8，
根據題意得，
∴k=1，b=-4，
∴y=x-4；

（2）在y軸的負半軸上取一點F，使得OF=OG，連接GF，
∵CO=AO，
∴CF=AG，
∵GE⊥CG，∠GOC=90°，
∴∠GCO=∠AGE
而∠GAE=∠GFO=45°，
∴△CGF≌△AGE，
∴CG=GE；

（3）答：是定值為1．
證明：在DF上取一點N，使得DN=OG，連接CN，
∵CO=CD，DN=GO，∠COG=∠CDN=90°，
∴△CGO≌△CND，
∴CN=CG，∠GCO=∠DCN，
又∠OCN+∠DCN=90°，
∴∠GCN=∠GCO+∠OCN=∠DCN+∠OCN=90°，
∵GC=GE，∠CGE=90°，
∴∠GCF=45°，又∠GCN=90°，
∴∠GCF=∠NCF=45°，而CF公共，
∴△CGF≌△CNF，則GF=NF，
則===1．
分析：（1）欲求直線AB的解析式，須知點A B坐標，已知A坐標，只求B坐標．由于BC∥X軸可以得到點B縱坐標為4，代入y=中可求出點B橫坐標；
（2）欲證CG=GE，利用原圖無法證出，須作輔助線構建三角形全等，因此在y軸的負半軸上取一點F，使得OF=OG，連接GF可證△CGF≌△AGE，即解．
點評：此題綜合性比較強，主要考查一次函數的圖形和性質、反比例函數的圖象和性質，正方形的性質及全等三角形的性質和判定．