Question

如圖，在銳角三角形ABC中，，BC邊上的高AM=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點的異側作正方形DEFG．

（1）因為             ，所以△ADE∽△ABC．

（2）如圖1，當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；

（3）設DE = x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y．

①如圖2，當正方形DEFG在△ABC的內部時，求關于的函數關系式，寫出x的取值范圍；

②如圖3，當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，求關于的函數關系式，寫出x的取值范圍；

③當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

 

Answer 1

 

（1）DE∥BC

（2）

（3）

①≤

②

③當時，有最大值為15

解析:解：（1）因為  DE∥BC    ， 所以△ADE∽△ABC……………2分

（2）當正方形DEFG的邊GF在BC上時

△ADE∽△ABC,

∴………………………………………………4分

而AN=AM－MN=AM－DE，∴…………………5分

解之得……………………………………………………6分

∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為

（3）①當正方形DEFG在△ABC的內部時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，

∵DE=x，∴……………………………………………………8分

此時x的范圍是≤ …………………………………………9分

②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，

△ADE∽△ABC,

∴，而AN=AM－MN=AM－EP,

∴，解得.

所以,  即………………………………11分

此時.………………………………………………………12分

③當≤時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值

…………………………………………13分

當時，，

                 ＝

所以當時，有最大值為15………………………………14分

因為 14.062515

所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為15 …………15分