Question

已知一次函數的圖象過點A（0，3），B（4，0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）作OP⊥直線AB，垂足為點P．
①求垂線段OP的長；
②以點O為圓心，OP為半徑作半圓O，請你探究：在x軸的正半軸半圓弧上是否存在一點Q，使得以Q為圓心，r為半徑的⊙Q，既與半圓O相切，又與直線OP相交？若存在，試求r的取值范圍；若不存在，請說明理由．（可利用備用圖解題）

Answer 1

解：（1）設切線AB直線的解析式為y=kx+b．
∴，
解得：，
∴y=-x+3，
即直線AB的解析式為：y=-x+3，

（2）①
∵作OP⊥直線AB，垂足為點P．
∵點A（0，3），B（4，0），∴AO=3，BO=4，
∴AB=5，
∵OP×AB=AO×BO，
∴OP==，

②
分析：（1）利用一次函數的圖象過點A（0，3），B（4，0），由待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）①利用三角形面積求出OP的長即可；
②
點評：此題難度很大，把一次函數，圓，三角形的知識結合起來，綜合性很強，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，利用數形結合求出結論．