Question

如圖，在R t△AOB中，已知AO=6，BO=8，點E從A點出發，向O點移動，同時點F從O點出發沿OB-BA向點A移動，點E的速度為每秒1個單位，點F的速度為每秒3個單位，當其中一點到達終點時，另一點隨即停止移動．設移動時間為x秒：
（1）當x=2時，求△AEF的面積；
（2）當EF∥BO時，求x的值；
（3）設△AEF的面積為y，求出y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點E、F的運動速度求得2秒后△AEF的兩直角邊AE=2，OF=6，所以由三角形的面積公式即可求得△AEF的面積；
（2）當EF∥BO時，△AEF∽△ABO，則由相似三角形的對應邊成比例列出關于x的方程，通過解方程可以求得x的值；
（3）分段討論：①當點F在OB邊上運動時，△AEF的面積=AE•OF；②當點F在邊AB上運動時，過F作OA的垂線FH，則FH∥OB，由平行線分線段成比例求得FH=．則△AEF的面積=AE•FH．
解答：解：（1）當x=2時，AE=2，OF=6，則S_△AEF=AE•OF=×2×6=6，即△AEF的面積是6；

（2）∵在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，
∴根據勾股定理得，AB==10．
當EF∥BO時，△AEF∽△ABO，
∴，解得；

（3）當F與B重合時，，∴分兩段討論：
①0＜x≤時，F在OB上移動，；
②＜x≤6時，過F作OA的垂線FH，則FH∥OB，
則即，
∴FH=
∴=．
點評：本題考查了相似綜合題．涉及到的知識點有：勾股定理，相似三角形的判定與性質以及三角形的面積計算．解答（3）題時，如果沒有分段，也應寫出x的取值范圍．