Question

【題目】定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點是二次函數圖象上一點，過點作軸，如果二次函數的圖象與關于成軸對稱，則稱是關于點的伴隨函數．如圖2，在平面直角坐標系中，二次函數的函數表達式是，點是二次函數圖象上一點，且點的橫坐標為，二次函數是關于點的伴隨函數．

（1）若，求的函數表達式．

（2）過點作軸，如果，線段與的圖象交于點，且，求的值．

（3）如圖3，二次函數的圖象在上方的部分記為，剩余的部分沿翻折得到，由和所組成的圖象記為．以、為頂點在軸上方作正方形．直接寫出正方形與有三個公共點時的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1);(2) ;(3)見解析.

【解析】

（1）當時，拋物線與拋物線關于直線對稱，得出拋物線的頂點時，即可求出的解析式，（2）由軸，，得，再分與分類討論即可;（3）分析圖象可知：當時，可知和的對稱軸關于直線對稱，的頂點恰在上，此時與正方形恰由2個交點，故可得出結論.

解：（1）當時，拋物線與拋物線關于直線對稱，
∴拋物線的頂點時，

∴拋物線的解析式為.

（2）∵軸，，

∴.

當時，，

.

當時，，

.

（3）分析圖象可知：當時，可知和的對稱軸關于直線對稱，的頂點恰在上，此時與正方形恰由2個交點．
當時，直線與軸重合，與正方形恰由三個頂點．
當時，過點且對稱軸左側部分與正方形有兩個交點
當或時，與正方形有三個公共點．