Question

如圖，反比例函數y=

k

x

的圖象經過點A（-

3

，b），過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為

3

．
（1）求k和b的值．
（2）若一次函數y=ax+1的圖象經過點A，并且與x軸相交于點M，與反比例函數的圖象交于另一點C（2

3

，-1）．
①求AO：AM的值．
②求方程ax+1-

k

x

=0的解（請直接寫出答案）
③求不等式ax+1-

k

x

＜0的解集（請直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據點A（-

3

，b）知OB=

3

，由△AOB的面積為

3

求出b，再由A點坐標求出k；
（2）①由一次函數y=ax+1的圖象經過點A求出a，得函數解析式，再求M的坐標，得BM的長；在△AOB中求OA的長，最后求比值，
②根據ax+1=

k

x

相等時，即為圖象橫坐標交點，得出x的值，進而得出答案；
③由ax+1-

k

x

＜0，得出ax+1＜

k

x

，即反比例函數大于一次函數，看在哪些區間反比例函數的圖象在上方即可．

解答：解：（1）∵AB⊥BD，A（-

3

，b），
∴S_△AOB=

1

2

AB•BO=

3

，
即

1

2

b•|-

3

|=

3

，
解得：b=2，
又∵點A在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=2×（-

3

）=-2

3

；

（2）①∵A（-

3

，2），在直線y=ax+1上
∴2=-

3

a+1　解得：a=-

3

3

∴y=-

3

3

x+1，
當y=0時，x=

3

，
∴M（

3

，0），
∴AO=

AB2+BO2

=

4+3

=

7

，
AM=

AB2+BM2

=

4+(2 3 )2

=4，
∴AO：AM=

7

：4，

②∵求方程ax+1-

k

x

=0的解，即為求y=ax+1，與y=

k

x

圖象交點橫坐標，根據A，C坐標得出，
∴方程ax+1-

k

x

=0的解為：x₁=-

3

，x₂=2

3

；

③∵由ax+1-

k

x

＜0，得出ax+1＜

k

x

，即反比例函數大于一次函數，
∴不等式ax+1-

k

x

＜0的解集為：-

3

＜x＜0或 x＞2

3

．

點評：本題考查了反比函數綜合以及待定系數法的應用，關鍵要注意根據圖象解不等式需從交點看起，圖象在上方的對應函數值大．