Question

已知直線y=-x+3分別交x軸、y軸于A，B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖）．
（1）直接寫出t=1秒時C，Q兩點的坐標；
（2）若以Q，C，A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線方程求得A點的坐標，從而求得OA的長度；然后根據點P、Q兩點的運動距離即可求得點C、Q的橫坐標；將點C的橫坐標代入直線方程即可求得點C的縱坐標；
（2）需要分類討論：①當△AQC∽△AOB時，點P與點Q重合，OQ=OP；②當△ACQ∽△AOB時，△AOB、△ACQ都是等腰直角三角形，AQ=2CP．
解答：解：（1）∵直線y=-x+3分別交x軸、y軸于A，B兩點，
∴令y=0，則x=3，即A（3，0）．
∴OA=3；
∵點P運動1秒鐘，
∴OP=1，
∵點C在直線AB上，
∴y_c=-1+3=2，
∴C（1，2），
∵點Q運動時間是1秒鐘，且在x軸上，
∴AQ=1，
∴OQ=OA-AQ=2，
∴Q（2，0）．
綜上所述，C（1，2），Q（2，0）；

（2）由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分兩種情況討論：
情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點P與點Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：當△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．
點評：本題考查了相似綜合題．解答（2）題時，注意要分類討論，以防漏解．