Question

二次函數y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于B、C兩點，點D是線段BC的中點，在x軸上方的A點為拋物線上的動點，連接AD，設AD=m，當∠BAC為銳角時，m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意已知二次函數的解析式為y=-x²+2x+3，令y=0，得方程-x²+2x+3=0，解出B，C兩點的坐標及D點的坐標，A點在x軸上方的A點為拋物線上的動點，先假設∠BAC=90，解出AD此時AD的長最小，當A點在拋物線頂點時，此時AD的長度最大，從而求出m的范圍．

解答：解：∵二次函數y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于B、C兩點，
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B（-1，0），C（3，0），
∵點D是線段BC的中點，
∴D（1，0），
已知點A是x軸上方的拋物線上的動點，
假設∠BAC=90度，
在Rt△ABC中AD為斜邊的中線，
∴AD=

1

2

BC=2，
此時A點再向上運動其角逐漸減小，
在頂點處，AD取最大值，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴AD的最大值為4，
∴2＜m≤4，
故答案為2＜m≤4．

點評：此題考查二次函數的性質及函數的特殊點坐標，主要研究函數上的動點問題，把銳角與函數聯系起來，解題的關鍵是找到臨界的條件，此題直角為一個臨界條件，函數的頂點為另一個邊界點．