Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是邊BC的中點，F是CD上一點，已知∠AEF＝90°．

（1）求證：；

（2）平行四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，F是邊CD上一點，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．

①如圖2，若∠AFE＝45°，求的值；

②如圖3，若AB＝BC，EC＝3CF，直接寫出cos∠AFE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②cos∠AFE＝

【解析】

（1）用特殊值法，設，則，證，可求出CF，DF的長，即可求出結論；

（2）①如圖2，過F作交AD于點G，證和是等腰直角三角形，證，求出的值，即可寫出的值；②如圖3，作交AD于點T，作于H，證，設CF＝2，則CE＝6，可設AT＝x，則TF＝3x，，，分別用含x的代數式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出結論．

（1）設BE＝EC＝2，則AB＝BC＝4，

∵，

∴，

∵，

∴∠FEC＝∠EAB，

又∴，

∴，

∴，

即，

∴CF＝1，

則，

∴；

（2）①如圖2，過F作交AD于點G，

∵，

∴和是等腰直角三角形，

∴，，

∴∠AGF＝∠C，

又∵，

∴∠GAF＝∠CFE，

∴，

∴，

又∵GF＝DF，

∴；

②如圖3，作交AD于點T，作于H，

則，

∴，

∴∠ATF＝∠C，

又∵，且∠D＝∠AFE，

∴∠TAF＝∠CFE，

∴，

∴，

設CF＝2，則CE＝6，可設AT＝x，則TF＝3x，，

∴，且，

由，得，

解得x＝5，

∴．