Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P為線段AB上一動點，且不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AD于點E，將∠A沿PE折疊，點A落在直線AB上點F處，連接DF、CF，當△CDF為等腰三角形時，AP的長是_____．

Answer 1

【答案】或1或1+或

【解析】

如圖1，當DF＝CD時，有一個解，如圖2，當CF＝CD＝2時，有兩個解，如圖3中，當FD＝FC時有一個解，根據(jù)折疊變換的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出即可．

解：如圖1，當DF＝CD時，點F與A重合或在點F′處．

∵在菱形ABCD中，AB＝2，

∴CD＝AD＝2，

作DN⊥AB于N，

由折疊的性質(zhì)得：此時點P與N重合，

在Rt△ADN中，∵AD＝2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′＝，

∴AP＝；

如圖2，當CF＝CD＝2時，點F與B重合或在F′處，

∵點F與B重合，

∴PE是AB的垂直平分線，

∴AP＝AB＝1；

點F落在F'處時，AF'＝2+2，

∴AP＝AF'＝1+；

如圖3中，當FD＝FC時，

AF＝+1，

∴AP＝AF＝．

綜上所述：當△CDF為等腰三角形時，AP的長為或1或1+或.

故答案為：或1或1+或