Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB的中點，連接DF、EF、DE，EF與AC交于點O，DE與AB交于點G，連接OG，若∠BAC=30°，下列結論：
①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG與△EOG的面積比為1：4．
其中正確結論的序號是（ ）

A．①②③
B．①④⑤
C．①③⑤
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：若∠BAC=30°，AB=2AC，由于△ABD、△ACE都是等邊三角形，顯然AD≠AE，而△DBF和△FAE中，∠DBF=∠AFO=60°，易證得∠FAE、∠DFB都是直角，且F是AB中，由此證得兩個三角形全等，可得DF=AE，進而可證得△DFG≌△AGE，即AF=2AG，AD=4AG，運用排除法即可得到D選項是正確的．
解答：解：Rt△ABC中，若∠BAC=30°，設BC=2，則AC=2，AB=4；
∴AF=2，AE=2，
∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△FAE是直角三角形，
∴tan∠AEF==，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，
根據等邊三角形三線合一的性質知：EF⊥AC，且O是AC的中點；（故③正確）
①∵F是AB的中點，∴AF=BF；
∵∠BAC=30°，
∴∠AFO=90°-∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；
∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，
∴△DBF≌△FEA，故①正確；
②在Rt△ABC中，AB＞AC，故AD＞AE，②錯誤；
④由①得全等三角形知：DF=AE，
又∵∠DFG=∠GAE=90°，∠DGF=∠AGE，
∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，
∴AD=2AF=4AG，故④正確；
⑤由④知：G是AF中點，由已知設AB=4，可以求出：EO=3，AO=，
∴S_△OEG=OE•（OA）=×3×=；
又S_△AGO=•（AB）•AG•sin60°=×1×=，
故△AOG與△EOG的面積比為1：3，⑤錯誤；
因此正確的結論是①③④，
故選D．
點評：此題主要考查的是直角三角形、等邊三角形的性質、全等三角形的判定以及圖形面積的求法，難度適中．