Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30°，下列結論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得出AD=4AG，從而得到答案．

解答：解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正確，
（含①的只有B和D，它們的區(qū)別在于有沒有④．它們都是含30°的直角三角形，并且斜邊是相等的），
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正確．
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，故②正確；
∴AG=

1

2

AF，
∴AG=

1

4

AB，
∵AD=AB，
則AD=AG，故③，
故答案為①②③④．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質，以及全等三角形的判定和性質，解決本題需先根據(jù)已知條件先判斷出一對全等三角形，然后按排除法來進行選擇．