Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，延長BC至點E，使得CE=AD
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD∥BC可知AD∥CE，再由AD=CE即可判斷出四邊形AECD是平行四邊形；
（2）由于梯形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，過點D作DF⊥BE，由（1）可知四邊形AECD是平行四邊形，所以AC=DE，AC∥DE，由于AC⊥BD可得出BD⊥DE，BD=DE，故△BDE是等腰直角三角形，故可求出DF的長，進而得出梯形ABCD的面積．
解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∵AD=CE，
∴四邊形AECD是平行四邊形；

（2）解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
過點D作DF⊥BE，
∵四邊形AECD是平行四邊形，
∴AC=DE，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，BD=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵AD=3，BC=7，AD=CE，
∴DF=（BC+CE）=×10=5，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）×DF=×10×5=25．
點評：本題考查的是等腰梯形的性質及平行四邊形的判定定理，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．