【題目】如圖1,在三角形中,
,
和
關于
對稱
(1)將圖1中的以
為旋轉中心,逆時針方向旋轉角
,使
,得到如圖2所示的
,分別延長
和
交于點
,則四邊形
的形狀是 ;
(2)將圖1中的以
為旋轉中心,按逆時針方向旋轉角
,使
,得到如圖3所示的
,連接
和
,得到四邊形
,請判斷四邊形
的形狀,并說明理由;
(3)如圖3中,,將
沿著射線
方向平移
,得到
,連接
,使四邊形
恰好為正方形,請直接寫出a的值.
【答案】(1)菱形;(2)四邊形BCC′D是矩形,理由見解析;(3)a的值為或
.
【解析】
(1)由對稱的性質結合題意得出DC=BC=DA=AB,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,由旋轉的性質得出∠CAC′=∠BAC=∠AC′D=∠BCA,證出AC∥DE,AC′∥BE,得出四邊形ACEC′是平行四邊形,由旋轉可得:AC=AC′,即可得出四邊形ACEC′是菱形;
(2)過點A作AE⊥C′C于點E,由旋轉的性質,得AC′=AC,得出∠CAE=∠C′AE= α=∠BAC,∠AEC′=90°,由等腰三角形的性質得出∠BCA=∠BAC,進而得出∠CAE=∠BCA,證出AE∥BC.同理,AE∥DC′,得出BC∥DC′,證出四邊形BCC′D是平行四邊形,求出∠BCC'=90°,即可得出四邊形BCC′D是矩形;
(3)過點B作BF⊥AC于F,證明△ACE∽△CBF,得出,求出CE=
,由等腰三角形的性質得出CC′=2CE=
,當四邊形BCC′'D′恰好為正方形時,分兩種情況:①C′'在邊CC′上時,a=CC′CC';②當點C′'在C′C的延長線上時,a=CC′+CC'.
解:(1)∵△ADC和△ABC關于AC對稱,
∴DC=BC,DA=AB,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
∵BA=BC,
∴DC=BC=DA=AB,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,
∵△ACD以A為旋轉中心,按逆時針方向旋轉角α,使α=∠BAC,得到△AC′D,
∴∠CAC′=∠BAC=∠AC′D=∠BCA,
∴AC∥DE,AC′∥BE,
∴四邊形ACEC′是平行四邊形,
由旋轉可得:AC=AC′,
∴四邊形ACEC′是菱形,
故答案為:菱形;
(2)四邊形BCC′D是矩形;
理由:過點A作AE⊥C′C于點E,如圖3所示:
由旋轉的性質,得AC′=AC,
∴∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC,∠AEC′=90°,
∵BA=BC,
∴∠BCA=∠BAC,
∴∠CAE=∠BCA,
∴AE∥BC,
同理,AE∥DC′,
∴BC∥DC′,
∵BC=DC′,
∴四邊形BCC′D是平行四邊形,
∵AE∥BC,∠AEC′=90°,
∴∠BCC′=90°,
∴四邊形BCC′D是矩形;
(3)過點B作BF⊥AC于F,
∵BA=BC,
∴CF=AFAC=
×10=5,
在Rt△BCF中,BF=,
∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90°,
∴△ACE∽△CBF,
∴,即
,
解得:CE=,
∵AC=AC′,AE⊥CC′,
∴CC′=2CE=,
當四邊形BCC′'D′恰好為正方形時,CC'=BC=,
分兩種情況:①C′'在邊CC′上時,如圖4所示:
則a=CC′CC'=;
②當點C′'在C′C的延長線上時,如圖5所示:
則a=CC′+CC'=;
綜上所述,a的值為或
.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,正六邊形ABCDEF內接于⊙O,BE是⊙O的直徑,連接BF,延長BA,過F作FG⊥BA,垂足為G.
(1)求證:FG是⊙O的切線;
(2)已知FG=2,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知,AB為⊙O的直徑,C,D為⊙O上兩點,過點D的直線EF與⊙O相切,分別交BA,BC的延長線于點E,F,BF⊥EF
(I)如圖①,若∠ABC=50°,求∠DBC的大小;
(Ⅱ)如圖②,若BC=2,AB=4,求DE的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】2015年是中國人民抗日戰爭暨世界反法西斯戰爭勝利70周年,9月3日全國各地將舉行有關紀念活動.為了解初中學生對二戰歷史的知曉情況,某初中課外興趣小組在本校學生中開展了專題調查活動,隨機抽取了部分學生進行問卷調查,根據學生的答題情況,將結果分為、
、
、
四類,其中
類表示“非常了解”,
類表示“比較了解”,
類表示“基本了解”;
類表示“不太了解”,調查的數據經整理后形成尚未完成的條形統計圖(如圖①)和扇形統計圖(如圖②):
(1)在這次抽樣調查中,一共抽查了 名學生;
(2)請把圖①中的條形統計圖補充完整;
(3)圖②的扇形統計圖中類部分所對應扇形的圓心角的度數為 ;
(4)如果這所學校共有初中學生1500名,請你估算該校初中學生中對二戰歷史“非常了解”和“比較了解”的學生共有多少名?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是對角線BD上一點,連接AE,將DE繞D點逆時針方向旋轉90°到DF,連接BF,交DC于點G,若DG=3,CG=2,則線段AE的長為__.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為迎接”抗戰勝利70周年紀念展”,中國國家博物館進行了合并改擴建工程.新館的展廳總面積與原館大樓的總建筑面積相同,成為目前世界上最大的博物館.已知原館大樓的總建筑面積比原館大樓的展覽面積的3倍少0.4萬平方米,新館的展廳總面積比原館大樓的展覽面積大4.2萬平方米,求新館的展廳總面積和原館大樓的展覽面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c為常數)與x軸交于點(x1,0)和(x2,0),與y軸交于點A,點E為拋物線頂點.
(Ⅰ)當x1=﹣1,x2=3時,求點E,點A的坐標;
(Ⅱ)①若頂點E在直線y=x上時,用含有b的代數式表示c;
②在①的前提下,當點A的位置最高時,求拋物線的解析式;
(Ⅲ)若x1=﹣1,b>0,當P(1,0)滿足PA+PE值最小時,求b的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,線段AB及一定點C、P是線段AB上一動點,作直線CP,過點A作AQ⊥CP于點Q,已知AB=7cm,設A、P兩點間的距離為xcm,A、Q兩點間的距離為y1cm,P、Q兩點間的距離為y2cm.小明根據學習函數的經驗,分別對函數y1、y2隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.下面是小明的探究過程,請補充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了y1、y2與x的幾組對應值.
x/cm | 0 | 0.3 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y1/cm | 0 | 0.28 | 0.49 | 0.79 | 1 | 1.48 | 1.87 | 2.37 | 2.61 | 2.72 | 2.76 | 2.78 |
y2/cm | 0 | 0.08 | 0.09 | 0.06 | 0 | 0.29 | 0.73 | 1.82 |
| 4.20 | 5.33 | 6.41 |
(2)在同一平面直角坐標系xOy中,描出補全后的表中各組數值所對應的點(x,y1),(x,y2),并畫出函數y1,y2的圖象;
(3)結合函數圖象,解決問題:當△APQ中有一個角為30°時,AP的長度約為 cm.
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