Question

已知二次函數．
【小題1】求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
【小題2】當該二次函數的圖象經過點（3，6）時，求二次函數的解析式；
【小題3】將直線y=x向下平移2個單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

【小題1】證明：令y=0,則．
∵△=,             
又∵， ∴．即△>0．
∴無論m為任何實數，一元二次方程總有兩不等實根．
∴該二次函數圖象與x軸都有兩個交點．   
【小題2】解：∵二次函數的圖象經過點（3，6）,
∴.解得.  
∴二次函數的解析式為
【小題3】解：將向下平移2個單位長度后得到解析式為：
解方程組  得     
∴直線與拋物線的交點為 
∴點A關于對稱軸的對稱點是,點B關于x軸的對稱點是.
     設過點、的直線解析式為．
∴    解得
∴直線的解析式為.
∴直線與x軸的交點為.                       
與直線的交點為.                          
則點、為所求．
過點做，∴，.
在Rt△中，.
∴所求最短總路徑的長為.

解析