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如圖所示,對稱軸為x=3的拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點(diǎn)B,O.
(1)求拋物線的解析式,并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)連接AB,把AB所在的直線平移,使它經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l.點(diǎn)P是l上一動點(diǎn).設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,當(dāng)0<S≤18時(shí),求t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t取最大值時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的對稱軸方程即可確定a的值,由此可得到拋物線的解析式,通過配方可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)根據(jù)A、B的坐標(biāo),易求得直線AB的解析式,進(jìn)而可確定直線l的解析式,即可表示出P點(diǎn)的坐標(biāo);由于P點(diǎn)的位置不確定,因此本題要分成兩種情況考慮:
①P點(diǎn)位于第四象限,此時(shí)t>0,四邊形AOPB的面積可由△OAB和△OBP的面積和求得,由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)S的取值范圍即可判斷出t的取值范圍;
②P點(diǎn)位于第二象限,此時(shí)t<0,可分別過A、P作x軸的垂線,設(shè)垂足為N、M;那么四邊形AOPB的面積即可由梯形APMN與△ABN的面積和再減去△OPM的面積求得,由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式,可參照①的方法求出t的取值范圍;
結(jié)合上面兩種情況即可得到符合條件的t的取值范圍;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,可求出t的最大值,由此可得到P點(diǎn)的坐標(biāo);若△OPQ為直角三角形且OP為直角邊,那么有兩種情況需要考慮:①∠QOP=90°,②∠OPQ=90°;
可分別過Q、O作直線l的垂線m、n,由于互相垂直的兩直線斜率的乘積為-1,根據(jù)直線l的解析式以及Q、O的坐標(biāo),即可求出直線m、n的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵點(diǎn)B與O(0,0)關(guān)于x=3對稱,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0).
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=ax2+2x得:
36a+12=0;
∴a=
∴拋物線解析式為.(2分)
當(dāng)x=3時(shí),
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,3).(3分)
(說明:可用對稱軸為,求a值,用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)A坐標(biāo))

(2)設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),

解得
∴y=-x+6.
∵直線l∥AB且過點(diǎn)O,
∴直線l解析式為y=-x.
∵點(diǎn)P是l上一動點(diǎn)且橫坐標(biāo)為t,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,-t).(4分)
當(dāng)P在第四象限時(shí)(t>0),
S=S△AOB+S△OBP
=×6×3+×6×|-t|
=9+3t.
∵0<S≤18,
∴0<9+3t≤18,
∴-3<t≤3.
又t>0,
∴0<t≤3.(5分)
當(dāng)P在第二象限時(shí)(t<0),
作PM⊥x軸于M,設(shè)對稱軸與x軸交點(diǎn)為N,
則S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO
=
=
=-3t+9;
∵0<S≤18,
∴0<-3t+9≤18,
∴-3≤t<3;
又t<0,
∴-3≤t<0;(6分)
∴t的取值范圍是-3≤t<0或0<t≤3.

(3)存在,點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3,3)或(6,0)或(-3,-9).(9分)
由(2)知t的最大值為3,則P(3,-3);
過O、P作直線m、n垂直于直線l;
∵直線l的解析式為y=-x,
∴直線m的解析式為y=x;
可設(shè)直線n的解析式為y=x+h,則有:
3+h=-3,h=-6;
∴直線n:y=x-6;
聯(lián)立直線m與拋物線的解析式有:

解得
∴Q1(3,3);
同理可聯(lián)立直線n與拋物線的解析式,求得Q2(6,0),Q3(-3,-9).
(說明:點(diǎn)Q坐標(biāo)答對一個(gè)給1分)
點(diǎn)評:此題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定,函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等重要知識點(diǎn),同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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(2)連接AB,把AB所在的直線平移,使它經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l.點(diǎn)P是l上一動點(diǎn).設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,當(dāng)0<S≤18時(shí),求t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t取最大值時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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3
.下列結(jié)論中,正確的是(  )

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1
2
.下列結(jié)論中,正確的是(  )

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