Question

（本題滿分12分）（1）閱讀合作學習內容，解答其中的問題；

合作學習 如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標軸的正半軸上，OD=3，另兩邊與反比例函數的圖象分別相交于點E，F，且DE=2，過點E作EH⊥軸于點H，過點F作FG⊥EH于點G。回答下列問題： ①該反比例函數的解析式是什么？ ②當四邊形AEGF為正方形時，點F的坐標是多少？

（2）小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當AE>EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結論即可；這兩個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由。

 

Answer 1

（1） ①y= ②F（3,2）（2）不能全等 能相似 相似比為

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質和反比例函數的特點可以求出函數的解析式；再根據正方形的性質和反比例函數的特點求出F點的坐標；

（2）先假設全等，然后判斷出F點不在反比例函數的圖像上，判斷出不全等；假設相似，得到相似的成比例線段，結合矩形的特點設出F點的坐標，根據反比例函數求出點F，從而求出相似比.

試題解析：（1）①∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x，而OD=3，DE=2

∴E點的坐標為（2,3）

∴k=2×3=6

∴反比例函數的解析式為

②設正方形AEGF的邊長為a，則AE=AF=a

∴B點的坐標為（2+a，0），A點的坐標為（2+a，3）

∴F點的坐標為（2+a，3-a）

把F點代入，可得（2+a）（3-a）=6，

解得（舍去）

∴F點的坐標為（3，2）

（2）①當AE＞EG時，矩形AECF與矩形DOHE不能全等.

理由：假設兩矩形全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，

∴A點的坐標為（5,3）

∴F點的坐標為（3,3）

而3×3=9≠6，F點不在上

故矩形AECF與矩形DOHE不能全等

②當AE＞EG時，若矩形AECF與矩形DOHE相似，根據相似的性質可得

∴,

設AE=3t，則AF=2t，得F點的坐標為（2+3t，3-2t），

所以由反比例函數可得（2+3t）（3-2t）=6，

解得（舍去），

∴AE=3t=，

∴相似比為

考點：反比例函數，矩形的性質，坐標與圖形，矩形的相似