Question

已知：如圖，M是弧AB的中點，過點M的弦MN交弦AB于點C，設⊙O的半徑為4cm，MN=4

3

cm．
（1）求圓心O到弦MN的距離；
（2）猜想OM和AB的位置關系，并說明理由；
（3）求∠ACM的度數．

Answer 1

分析：（1）連接OM，由垂徑定理可知MD=ND，在Rt△MOD中，已知OM、MD，易求OD．
（2）連接OA、OB，由于M是弧AB的中點，易證∠AOM=∠BOM，又OA=OB，利用等腰三角形三線合一的性質，易證OM⊥AB．
（3）利用銳角三角函數，易求∠OMD=30°，進而易求∠ACM=60°．

解答：解：（1）連接OM，
∵點M是弧AB的中點，
∴OM⊥AB，過點O作OD⊥MN于點D，
由垂徑定理，得MD=

1

2

MN=2

3

．
在Rt△ODM中，OM=4，MD=2

3

，
∴OD=

OM2-MD2

=2
故圓心O到弦MN的距離為2cm．

（2）猜想：OM⊥AB
連接OA、OB，由M是弧AB的中點，
得∠AOM=∠BOM，
又因為OA=OB，所以OM⊥AB．

（3）cos∠OMD=

MD

OM

=

3

2

，
∴∠OMD=30°，
∵OM⊥AB，
∴∠ACM=60°．

點評：本題主要考查了垂徑定理，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解，常見輔助線是過圓心作弦的垂線．