Question

（2012•南通一模）如圖1，拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），拋物線上另有一點A在第一象限內，且∠BAC=90°．
（1）填空：點B的坐標為（

（3，0）

），點C的坐標為（

（8，0）

）；
（2）連接OA，若△OAC為等腰三角形．
①求此時拋物線的解析式；
②如圖2，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，點M為①中所求的拋物線上點A與點C兩點之間一動點，且點M的橫坐標為m，過動點M作垂直于x軸的直線l與CD交于點N，試探究：當m為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數與x軸交點坐標求法，解一元二次方程即可得出；
（2）①利用菱形性質得出AD⊥OC，進而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點坐標，進而求出二次函數解析式；
②首先求出過C、D兩點的坐標的直線CD的解析式，進而利用S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），
∴拋物線與x軸的交點坐標為：0=nx²-11nx+24n，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8，
故B點坐標為（3，0），C點坐標為：（8，0）；

（2）①如圖1，作AE⊥OC，垂足為點E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=

1

2

×8=4，∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴

AE

BE

=

CE

AE

，
∴AE²=BE•CE=1×4，∴AE=2，
∴點A的坐標為 （4，2），
把點A的坐標 （4，2）代入拋物線y=nx²-11nx+24n，得n=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

11

2

x-12，

②∵點M的橫坐標為m，且點M在①中的拋物線上，
∴點M的坐標為 （m，-

1

2

m²+

11

2

m-12），由①知，點D的坐標為（4，-2），
則C、D兩點的坐標求直線CD的解析式為y=

1

2

x-4，
∴點N的坐標為 （m，

1

2

m-4），
∴MN=（-

1

2

m²+

11

2

m-12）-（

1

2

m-4）=-

1

2

m²+5m-8，
∴S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN•CE=

1

2

（-

1

2

m²+5m-8）×4，
=-（m-5）²+9，
∴當m=5時，S_{四邊形AMCN}=9．

點評：此題主要考查了二次函數與坐標軸交點坐標求法以及菱形性質和四邊形面積求法等知識，根據已知得出△ACE∽△BAE是解決問題的關鍵．