Question

【題目】已知：拋物線y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1經過坐標原點，且當x＜0時，y隨x的增大而減小．

（1）求拋物線的解析式，并寫出y＜0時，對應x的取值范圍；

（2）設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C．

①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；

②設動點A的坐標為（a，b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值？如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】y=－3x，0＜x＜3；6；，（，－）或（，－）

【解析】

試題（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據函數的增減性，可得符合條件的函數解析式，根據函數與不等式的關系，可得答案；

（2）①根據BC關于對稱軸對稱，可得A點的縱坐標，根據矩形的周長公式，可得答案；

②分類討論A在對稱軸左側，A在對稱軸右側，根據對稱，可得BC的長，AB的長，根據周長公式，可得函數解析式，根據函數的增減性，可得答案．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1經過坐標原點（0，0），

∴m2﹣1=0，

∴m=±1

∴y=x2+x或y=x2﹣3x，

∵當x＜0時，y隨x的增大而減小，

∴y=x2﹣3x，由函數與不等式的關系，得y＜0時，0＜x＜3；

（2）①如圖1，

當BC=1時，由拋物線的對稱性，得點A的縱坐標為﹣2，

∴矩形的周長為6；

②∵A的坐標為（a，b），

∴當點A在對稱軸左側時，如圖2，

矩形ABCD的一邊BC=3﹣2a，另一邊AB=3a﹣a2，

周長L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，當a=時，L最大=，A點坐標為（，﹣），

當點A在對稱軸右側時如圖3，

矩形的一邊BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一邊AB=3a﹣a2，

周長L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，當a=時，L最大=，A點坐標為（，﹣）；

綜上所述：當0＜a＜時，L=﹣2（a﹣）2+，

∴當a=時，L最大=，A點坐標為（，﹣），

當＜a＜3時，L=﹣2（a﹣）2+，

∴當a=時，L最大=，A點坐標為（，﹣）．