Question

如圖(a)所示，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN＝4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米．要在鐵皮下截下一矩形ABCD，使矩形頂點B，C落在邊MN上，A，D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米？(提示：以MN所在的直線為x軸建立適當的直角坐標系)

Answer 1

答案：
解析：

　　解：如圖(b)所示，以邊MN所在的直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標系．設拋物線的頂點為P，則點M，N，P的坐標依次為M(－2，0)，N(2，0)，P(0，4)．

　　由M，N，P三點坐標可得拋物線的解析式為y＝－x²＋4．

　　設A點坐標為(x，y)，

　　由AD＝BC＝2|x|，AB＝CD＝y．

　　∴矩形ABCD的周長l關于x的解析式l＝－2x²＋4|x|＋8．

　　函數l的自變量的取值范圍是－2＜x＜2，且x≠0．

　　若l＝8，即－2x²＋2|x|＋8＝8，∴x²－2|x|＝0．

　　當x＞0時，x²－2x＝0，則，x＝0或x＝2；

　　當x＜0時，x²＋2x＝0，則x＝0或x＝－2．

　　∵－2＜x＜2，且x≠0，∴l的值不可能取8．

　　故截下的矩形周長不可能等于8分米．

　　思路點撥：建立恰當平面直角坐標系，得到拋物線解析式．

　　設出矩形與拋物線一個公共點坐標，用一個變量表示出矩形的周長．由周長等于8，得方程并解之得結論．

　　評注：這是一道拋物線與矩形綜合的綜合題，拋物線與平面幾何中的圖形結合的綜合題是中考中的常見題型．這種類型的綜合題的一般解法是通過建立恰當的平面直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，然后通過代數方法的求解，而得到幾何問題的解．這是一種數形結合思想的體現．解決這類題的關鍵是建立恰當的平面直角坐標系．對于拋物線來說，一般以其對稱軸為y軸，建立相應的坐標系，開口向上向下由具體問題來確定．本題轉化為一元二次方程來求解．

　　本題也可以以邊MN所在的直線為x軸，點M為原點建立直角坐標系．這樣建的優點是圖形絕大部分處第一象限內，變量是非負值，可以避免討論．當然本題的解法，也可以不失一般性設點的坐標為(x，y)，x＞0，y＞0這樣也可以避免討論，但還是要注意0＜x＜2，否則也會得到錯誤的結論．