Question

（2013•天橋區二模）如圖，點A（1，0），B（0，

3

）分別在x軸和y軸上，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求直線AB的解析式及點C的坐標；
（2）若點P（m，

3

2

）為坐標平面內一點，使得△APB與△ABC面積相等，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據條件列出二元一次方程組，求出k和b的值，作CD⊥x軸，垂足為D，即可求出C點坐標；
（2）如圖，過點P作直線l∥x軸，交AB于點Q，求出點Q的坐標，先求出三角形ABC的面積的值，然后令兩面積相等，求出PQ的值，進而求出m的值．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b則

k+b=0 b= 3

，
解得k=-

3

，b=

3

∴y=-

3

x+

3

，
作CD⊥x軸，垂足為D，
∵OA=1，OB=

3

，
∴AB=2
∵∠ABC=30°，
∴AC=

2 3

3

，
∵

OB

OA

=

3

，
∴∠OAB=60°，
∴∠CAD=30°
∴CD=

3

3

，AD=1，
∴C的坐標是(2，

3

3

)，

（2）如圖，過點P作直線l∥x軸，交AB于點Q，則點Q的坐標是(

1

2

，

3

2

)
S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×2×

2 3

3

=

2 3

3

，
S_△ABC=S_△APB，
∴

1

2

×PQ•OB=

2 3

3

，即

1

2

×PQ×

3

=

2 3

3

，
解得PQ=

4

3

，
∴|

1

2

-m|=

4

3

，
解得m₁=

11

6

，m₂=-

5

6

．

點評：本題主要考查一次函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握一次函數的性質，并結合圖形進行答題，此題是中考的重點題型，此題難度不大．