Question

如圖所示，同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，且AC=CD，AB的弦心距等于CD的一半．則這兩個同心圓的大小圓的半徑之比（　　）

• A．3：1
• B．2：

  10

• C．10：

  2

• D．

  5

  ：1

Answer 1

分析：過O作OE⊥AB，交AB于點E，連接OA，OC，如圖所示，由垂徑定理得到E為AB的中點，E為CD的中點，又AB的弦心距等于CD的一半，即OE=CE=ED=

1

2

CD，可得出三角形COE為等腰直角三角形，設CE=OE=x，利用勾股定理表示出OC，再由AC=CD，表示出AC，由AC+CE表示出AE，在直角三角形AOE中，利用勾股定理表示出OA，即可求出兩半徑之比．

解答：解：過O作OE⊥AB，交AB于點E，連接OA，OC，如圖所示，
由垂徑定理得到E為AB的中點，E為CD的中點，
又AB的弦心距等于CD的一半，即OE=CE=ED=

1

2

CD，
∴△OCE為等腰直角三角形，
設CE=OE=x，由勾股定理得到OC=

2

x，
由AC=CD=2CE，得到AC=2x，
則AE=AC+CE=2x+x=3x，
在Rt△AEO中，根據勾股定理得：OA=

AE2+OE2

=

10

x，
則這兩個同心圓的大小圓的半徑之比OA：OC=

10

x：

2

x=

5

：1．
故選D

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握定理是解本題的關鍵．