Question

市政府為改善居民的居住環境，修建了環境幽雅的環城公園，為了給公園內的草評定期噴水，安裝了一些自動旋轉噴水器，如圖所示，設噴水管AB高出地面1.5m，在B處有一個自動旋轉的噴水頭，-瞬間噴出的水流呈拋物線狀．噴頭B與水流最高點C的連線與地平面成45°的角，水流的最高點C離地平面距離比噴水頭B離地平面距離高出2m，水流的落地點為D．在建立如圖所示的直角坐標系中：
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）求水流的落地點D到A點的距離是多少m？

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線的問題放到直角坐標系中解決，是探究實際問題常用的方法，本題關鍵是解等腰直角三角形，求出拋物線頂點C（2，3.5）及B（0，1.5），設頂點式求解析式；
（2）求AD，實際上是求當y=0時點D橫坐標．
解答：解：在如圖所建立的直角坐標系中，
由題意知，B點的坐標為（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C點坐標為（2，3.5）
（1）設拋物線的函數解析式為
y=ax²+bx+c（a≠0），
則拋物線過點（0，1.5）頂點為（2，3.5），
∴當x=0時，y=c=1.5
由，得b=-4a，
由，得
解之，得a=0（舍去），a=-，
∴b=-4a=2．
所以拋物線的解析式為y=-x²+2x+．

（2）∵D點為拋物線y=-x²+2x+的圖象與x軸的交點，
∴當y=0時，即：-x²+2x+=0，
解得x=2±，
x=2-不合題意，舍去，取．
∴D點坐標為（2+，0），
∴AD=（2+）（m）．
答：水流的落地點D到A點的距離是（2+）m．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．