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市政府為改善居民的居住環境,修建了環境幽雅的環城公園,為了給公園內的草評定期噴水,安裝了一些自動旋轉噴水器,如圖所示,設噴水管AB高出地面1.5m,在B處有一個自動旋轉的噴水頭,-瞬間噴出的水流呈拋物線狀.噴頭B與水流最高點C的連線與地平面成45°的角,水流的最高點C離地平面距離比噴水精英家教網頭B離地平面距離高出2m,水流的落地點為D.在建立如圖所示的直角坐標系中:
(1)求拋物線的函數解析式;
(2)求水流的落地點D到A點的距離是多少m?
分析:(1)把拋物線的問題放到直角坐標系中解決,是探究實際問題常用的方法,本題關鍵是解等腰直角三角形,求出拋物線頂點C(2,3.5)及B(0,1.5),設頂點式求解析式;
(2)求AD,實際上是求當y=0時點D橫坐標.
解答:解:在如圖所建立的直角坐標系中,
由題意知,B點的坐標為(0,1.5),∠CBE=45°,
∴△BEC為等腰直角三角形,
∴BE=2,精英家教網
∴C點坐標為(2,3.5)
(1)設拋物線的函數解析式為
y=ax2+bx+c(a≠0),
則拋物線過點(0,1.5)頂點為(2,3.5),
∴當x=0時,y=c=1.5
-
b
2a
=2
,得b=-4a,
4ac-b2
4a
=3.5
,得
6a-16a2
4a
=3.5

解之,得a=0(舍去),a=-
1
2

∴b=-4a=2.
所以拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+2x+
3
2


(2)∵D點為拋物線y=-
1
2
x2+2x+
3
2
的圖象與x軸的交點,
∴當y=0時,即:-
1
2
x2+2x+
3
2
=0,
解得x=2±
7

x=2-
7
不合題意,舍去,取x=2+
7

∴D點坐標為(2+
7
,0),
∴AD=(2+
7
)(m).
答:水流的落地點D到A點的距離是(2+
7
)m.
點評:本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用.此題為數學建模題,借助二次函數解決實際問題.
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