Question

如圖，已知△OAB的頂點A（3，0），B（0，1），O是坐標原點．將△OAB繞點O按逆時針旋轉90°得到△ODC．
（1）寫出C，D兩點的坐標；
（2）求過C，D，A三點的拋物線的解析式，并求此拋物線的頂點M的坐標；
（3）在線段AB上是否存在點N，使得NA=NM？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質，可得OC=OB，OD=OA，進而可得CD兩點的坐標；
（2）設出解析式，并將A、C、D三點的坐標代入可得方程組，解可得解析式，進而可得M的坐標；
（3）假設存在并設出其坐標，連接MB，作ME⊥y軸于E，可得ME、BE、MB的長，進而可得BA與MB的關系，即可求出N的坐標，故可作出判斷．
解答：解：（1）C（-1，0），D（0，3）．
（2）設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
∵A，C，D在拋物線上
∴解得a=-1，b=2，c=3
即y=-x²+2x+3
又y=-（x-1）²+4
∴M（1，4）．

（3）解：（法一）
連接MB，作ME⊥y軸于E
則ME=1，BE=4-1=3
∴MB=，BA=MB
即在線段AB上存在點N（0，1）（即點B）使得NA=NM．
（法二）
設在AB上存在點N（a，b）（0≤b≤1）使得NA=NM（即NA²=NM²）
作NP⊥OA于P，NQ⊥對稱軸x=1于Q
則
∴NA²=b²+（3-a）²=10b²
NM²=（1-a）²+（4-b）²=10b²-20b+20
則10b²=10b²-20b+20
∴b=1
故在線段AB上存在點N（0，1）（即點B）使得NA=NM．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．