Question

（2013•赤峰）如圖，已知△OAB的頂點A（-6，0），B（0，2），O是坐標原點，將△OAB繞點O按順時針旋轉90°，得到△ODC．
（1）寫出C，D兩點的坐標；
（2）求過A，D，C三點的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點E的坐標；
（3）證明AB⊥BE．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，可得OC=OB，OD=OA，進而可得C、D兩點的坐標；
（2）由于拋物線過點A（-6，0），C（2，0），所以設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x-2）（a≠0），再將D（0，6）代入，求出a的值，得出拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點E的坐標；
（3）已知A、B、E三點的坐標，運用兩點間的距離公式計算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，則AB²+BE²=AE²，根據勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE．

解答：解：（1）∵將△OAB繞點O按順時針旋轉90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；

（2）∵拋物線過點A（-6，0），C（2，0），
∴可設拋物線的解析式為y=a（x+6）（x-2）（a≠0），
∵D（0，6）在拋物線上，
∴6=-12a，
解得a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

（x+6）（x-2），即y=-

1

2

x²-2x+6，
∵y=-

1

2

x²-2x+6=-

1

2

（x+2）²+8，
∴頂點E的坐標為（-2，8）；

（3）連接AE．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（-2-0）²+（8-2）²=40，AE²=（-2+6）²+（8-0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．

點評：本題考查了旋轉的性質，二次函數的解析式及頂點坐標的求法，勾股定理的逆定理，綜合性較強，難度不大．運用待定系數法求二次函數的解析式是中考的常考點，需熟練掌握，解題時根據條件設出適當的解析式，能使計算簡便．