Question

（2008•門頭溝區二模）如圖1，P為Rt△ABC所在平面內任一點（不在直線AC上），∠ACB=90°，M為AB的中點．
操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連接PM并延長到點E，使ME=PM，連接DE．
（1）請你猜想與線段DE有關的三個結論，并證明你的猜想；
（2）若將“Rt△ABC”改為“任意△ABC”，其他條件不變，利用圖2操作，并寫出與線段DE有關的結論（直接寫答案）．

Answer 1

分析：（1）連接BE，證△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根據平行四邊形的性質得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四邊形CDEB即可；
（2）連接BE，證△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根據平行四邊形的性質得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四邊形CDEB即可．

解答：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，
證明：連接BE，
∵M為AB中點，
∴AM=MB，
在△PMA和△EMB中
∵

PM=ME ∠PMA=∠EMB AM=BM

，
∴△PMA≌△EMB（SAS），
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵四邊形PADC是平行四邊形，
∴PA∥DC，PA=DC，
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四邊形DEBC是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴DE⊥AC．

（2）解：DE∥BC，DE=BC．

點評：本題考查了平行四邊形性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定的綜合運用．