Question

已知：y關于x的函數y=（k﹣1）x²﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點．

（1）求k的取值范圍；

（2）若x₁，x₂是函數圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足（k﹣1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．

①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函數圖象確定y的最大值和最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）k的取值范圍是k≤2

（2）①k值為﹣1②y的最大值為，最小值為﹣3

【解析】（1）當k=1時，函數為一次函數y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個交點．…（1分）

當k≠1時，函數為二次函數，其圖象與x軸有一個或兩個交點，

令y=0得（k﹣1）x²﹣2kx+k+2=0．

△=（﹣2k）²﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k=1．…（2分）

綜上所述，k的取值范圍是k≤2．…（3分）

（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k=1．

由題意得（k﹣1）x₁²+（k+2）=2kx₁．（*）…（4分）

將（*）代入（k﹣1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：

2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．…（5分）

又∵x₁+x₂=，x₁x₂=，

∴2k•=4•．…（6分）

解得：k₁=﹣1，k₂=2（不合題意，舍去）．

∴所求k值為﹣1．…（7分）

②如圖，∵k₁=﹣1，y=﹣2x²+2x+1=﹣2（x﹣）²+．

且﹣1≤x≤1．…（8分）

由圖象知：當x=﹣1時，y_最小=﹣3；當x=時，y_最大=．…（9分）

∴y的最大值為，最小值為﹣3．…（10分）