Question

已知：y關于x的函數y=（k-1）x²-2kx+k+2的圖象與x軸有交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是函數圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函數圖象確定y的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分兩種情況討論，當k=1時，可求出函數為一次函數，必與x軸有一交點；當k≠1時，函數為二次函數，若與x軸有交點，則△≥0．
（2）①根據（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂及根與系數的關系，建立關于k的方程，求出k的值；②充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值．
解答：解：（1）當k=1時，函數為一次函數y=-2x+3，其圖象與x軸有一個交點．…（1分）
當k≠1時，函數為二次函數，其圖象與x軸有一個或兩個交點，
令y=0得（k-1）x²-2kx+k+2=0．
△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．…（2分）
綜上所述，k的取值范圍是k≤2．…（3分）
（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k≤2且k≠1，函數圖象與x軸兩個交點，
∴k＜2，且k≠1．
由題意得（k-1）x₁²+（k+2）=2kx₁．（*）…（4分）
將（*）代入（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：
2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．…（5分）
又∵x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴2k•=4•．…（6分）
解得：k₁=-1，k₂=2（不合題意，舍去）．
∴所求k值為-1．…（7分）
②如圖，∵k₁=-1，y=-2x²+2x+1=-2（x-）²+．
且-1≤x≤1．…（8分）
由圖象知：當x=-1時，y_最小=-3；當x=時，y_最大=．…（9分）
∴y的最大值為，最小值為-3．…（10分）
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數的定義、二次函數的最值，充分利用圖象是解題的關鍵．